\section{Dirichlet $L$-函数}

\begin{frame}{Dirichlet $L$-函数}

  设 $\chi$ 是模 $m$ 的 Dirichlet 特征， 由 $\chi$ 定义一个 Dirichlet 级数 (称为 \emph{$L$-函数}):
\[
L(s, \quad \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^{s}}
\]
其中 $s=\sigma+\mathrm{i} \tau$ 是复数， $\sigma, \tau$ 是实数。 例如， 若 $\chi_{0}$ 是模 3 的主特征， 则
\[
L\left(s, \chi_{0}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi_{0}(n)}{n^{s}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\cdots
\]
若 $\chi_{3}$ 是模 3 的非主特征， 则
\[
L\left(s, \chi_{3}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi_{3}(n)}{n^{s}}=1-\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}-\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}-\frac{1}{8^{s}}+\cdots
\]
$L$-函数 $L(s, \chi)$ 由 P. G. L. Dirichlet 在 1837 年作为实数变量函数引入， 以证明算术级数中含无限多素数（即 $\{m k+a\}$ ($k=0,1,2, \cdots$) 中含无限多素数，这里 $m$ 和 $a$ 互素). 后来的事实表明， 它在数论的多方面理论中都很重要， 在几何学上也有发展。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{theorem}%定理1
  设 $\chi$ 是模 $m$ 的 Dirichlet 特征。 当复数 $s$ 的实数部分 $\sigma>1$ 时， Dirichlet 级数
\[
L(s, \chi)=\sum \chi(n) / n^{s}
\]
绝对收敛， 从而为解析(即可微分) 函数， 且有 Euler 乘积
\[
  L(s, \chi)=\prod_{p}\left[1-\frac{\chi(p)}{p^{s}}\right]^{-1}.
\]
进而知， 此时 $L(s, \chi) \neq 0$ 且
\[
  \log L(s, \chi)=\sum_{p} \frac{\chi(p)}{p^{s}}+O(1),
\]
其中 $O(1)$ 表示有界函数。
\end{theorem}

\begin{proof}
 因 $|\chi(n)| \leqslant 1$, 故由 \S 8.3 例 5 知， $\sigma>1$ 时 $L(s, \chi)=\sum \chi(n) / n^{s}$ 绝对收敛。 再由 \S 8.3 定理 2, 因为 $\chi(n) / n^{s}$ 是完全积性函数， 故得定理中的 Euler 乘积。 $L(s, \chi)$ 的解析性质由数学分析的收敛理论容易得出， 此处不再深入讨论。 为证 $L(s, \chi) \neq 0$, 注意
 \end{proof}

 \end{frame}

 \begin{frame}

   \begin{proof}[续]
 \[
 \left|\frac{\chi(p)}{p^{s}}\right| \leqslant \frac{1}{p^{\sigma}}<\frac{1}{2}
 \]
 故 Euler 乘积的每个因子 $1-\frac{\chi(p)}{p^{x}}$ 均非零有限， 故只需证明 $\prod_{p>N_{0}}\left[1-\frac{\chi(p)}{p^{s}}\right]^{-1} \neq$ 0 (对某 $N_{0}$). 易知有
 \[
   \begin{gathered}
   \left|\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\chi\left(p^{k}\right)}{p^{k s}}\right| \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{p^{k \sigma}}=\frac{1}{p^{\sigma}} \cdot \frac{1}{1-p^{-\sigma}}=\frac{1}{p^{\sigma}-1}<\frac{2}{p^{\sigma}}, \\
   \left.\left|\left[1-\frac{\chi(p)}{p^{s}}\right]^{-1}\right|=\left|1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\chi\left(p^{k}\right)}{p^{k s}}\right| \geqslant 1-\left|\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\chi\left(p^{k}\right)}{p^{k s}}\right|>1-\frac{2}{p^{\sigma}} \right\rvert\,
 \end{gathered}
 \]
 取 $N_{0}$ 使 $\sum_{p>N_{0}} 2 / p^{\sigma}<1 / 2$, 则
 \[
 \prod_{N_{0}<p \leqslant N}\left|\left[1-\frac{\chi(p)}{p^{s}}\right]^{-1}\right| \geqslant \prod_{N_{0}<p \leqslant N}\left(1-\frac{2}{p^{\sigma}}\right) \geqslant 1-\sum_{N_{0}<p \leqslant N} \frac{2}{p^{\sigma}}>\frac{1}{2}
 \]
 (这里用了不等式：对$0\leqslant a_i\leqslant 1$, $\prod_{i=1}^k (1-a_i)\geqslant 1-\sum_{i=1}^k a_i$, 容易归纳来验证）。
 故 $\prod_{N_{0}<p}\left|\left[1-\frac{\chi(p)}{p^{s}}\right]^{-1}\right| \geqslant \frac{1}{2}$, 即知 $L(s, \chi) \neq 0$.
 \end{proof}

 \end{frame}

 \begin{frame}

   \begin{proof}[续]
 类似于 \S8.2 定理 6 的证明， 知 $\log L(s, \chi)=\log \prod_{p}\left[1-\chi(p) p^{-s}\right]^{-1}$ 为
 \[
   \sum_{p} \log \left[1-\frac{\chi(p)}{p^{s}}\right]^{-1}=\sum_{p} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{\chi\left(p^{m}\right)}{m p^{m s}}=\sum_{p} \frac{\chi(p)}{p^{s}}+\sum_{p} \sum_{m=2}^{\infty} \frac{\chi\left(p^{m}\right)}{m p^{m s}}.
 \]
 而
 \[
   \left|\sum_{p} \sum_{m=2}^{\infty} \frac{\chi\left(p^{m}\right)}{m p^{m s}}\right| \leqslant \sum_{p} \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m p^{m s}} \leqslant \sum_{p} \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{p^{m}}=\sum_{p} \frac{1}{p^{2}-p}<1.
 \]
 证毕。
 \end{proof}

  例如对模 $3$ 的特征 $\chi_{0}$ (主特征)和 $\chi_{3}$ (非主特征), 我们有
 \[
   \begin{aligned}
   L\left(s, \chi_{0}\right)&= \prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1} \\
 L\left(s, \chi_{3}\right)&= \prod_{p=1(\bmod 3)}\left(1-p^{-s}\right)^{-1} \prod_{p=2(\bmod 3)}\left(1+p^{-s}\right)^{-1} .
 \end{aligned}
 \]

\end{frame}

 \begin{frame}

 \begin{theorem}%定理2
 设 $\chi \neq \chi_{0}$ 是模 $m$ 的非主特征。 当复数 $s$ 的实数部分 $\sigma>0$ 时， Dirichlet 级数 $L(s, \chi)=\sum \chi(n) / n^{s}$ 收敛， 从而为解析(即可微分) 函数。
 \end{theorem}

 \begin{proof}
   既然$\chi\neq 1$, 由上节定理 1 知， $\sum_{u \in G_{m}} \chi(u)=0$. 这说明
\[
A_{n}=\chi(1)+\chi(2)+\cdots+\chi(n)
\]
是有界的。 按 $\S 8.3$ 定理 4 , 现在有
\[
\left|A_{n}\right| \leqslant M n^{0}
\]
即 $\sigma_{1}=0$. 故当 $\sigma>\sigma_{1}=0$ 时， $\sum \chi(n) / n^{s}$ 收敛。 即知 $L(s, \chi)$ 为解析函数 (由数学分析理论容易得出， 此处不再深入).
\end{proof}

由定理 1 和定理 2 可知， 主特征 $\chi_{0}$ 和非主特征 $\chi \neq \chi_{0}$ 定义的 $L$-函数性质很不同。 对于本原的主特征 $\chi_{0}$ (即模为 $m=1$, 亦即 $\chi_{0}(n)=1$ 对任意非零 $n$ 成立), 显然 $L\left(s, \chi_{0}\right)=\zeta(s)$. 对非本原的主特征 $\chi_{0}$ (模为 $m \neq 1$), 由定理 1 的 Euler 乘积知， $L\left(s, \chi_{0}\right)$ 与 $\zeta(s)$ 相差一个因子， 即如下。
\end{frame}

\begin{frame}

 \begin{corollary}%系1
 设 $\chi_{0}$ 为模 $m$ 主特征，当 $s$ 的实部 $\sigma>1$ 时有
 \[
   L\left(s, \chi_{0}\right)=\zeta(s) \cdot \prod_{p \mid m}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right).
 \]
 \end{corollary}

 另一方面， 对模 $m$ 的非主特征 $\chi \neq \chi_{0}$, 记 $\chi^{*}$ 为诱导出 $\chi$ 的本原特征，导子为 $f_{\chi}$. 
 那么素数 $p \mid m$ 而 $p \nmid f_{\chi}$ 时， $\chi(a)=0$ 而 $\chi^{*}(a) \neq 0$. 故 Euler 乘积 (定理 1)中， $L\left(s, \chi^{*}\right)$ 比 $L(s, \chi)$ 多出 $\left[1-\chi(p) / p^{s}\right]^{-1}$ 这类因子。 故得到

 \begin{corollary}%系2
 $\displaystyle L(s, \chi)=L\left(s, \chi^{*}\right) \cdot \prod_{p \mid m}\left[1-\frac{\chi^{*}(p)}{p^{s}}\right]$.
 \end{corollary}

 因此知道， 我们只需讨论本原特征的 $L$-函数， 这使得许多结果简洁。

 \begin{remark}%注记1
 Dirichlet $L$-函数 $L(s, \chi)$ 可被解析延拓到全复平面， 当 $\chi \neq \chi_{0}$ ( 即非主特征) 时， 处处解析; 当 $\chi=\chi_{0}$ 为主特征时， 在 $s=1$ 有单极点 (即趋向于无穷), 其余处均解析。
 \end{remark}
 \end{frame}
 \begin{frame}
   \begin{remark}%注记2
   广义的 Riemann 假设猜想： Dirichlet $L$-函数 $L(s, \chi)$ 的非平凡零点都在直线 $\sigma=\frac{1}{2}$ 上(即必为 $s=\frac{1}{2}+t \mathrm{i}$ 形式). “非平凡零点” 即是使 $L(s, \chi)=0$ 的 $s$,
 其实数部分 $\sigma$ 满足 $0<\sigma<1$ (非平凡零点有无限多). 此猜想有重要的意义。

 当 $\sigma>1$ 时 $L(s, \chi)$ 无零点 (即 $L(s, \chi) \neq 0$). 对本原特征 $\chi$, 当 $\sigma \leqslant 0$ 时， $L\left(s, \chi\right.$) 仅有的零点为 $s=\varepsilon-2 k$ (其中 $\varepsilon \in\{0,1\}$ 且 $\chi(-1)=(-1)^{\varepsilon}, k$ 为正整数), 及 $s=0$ (仅当 $\chi \neq \chi_{0}$ 为非主的偶特征). 当然， 对于非本原特征， 零点还可能来自系 2 中的乘积。 所有这些零点都称为 $L(s, \chi)$ 的平凡零点。 Vallée-Poussin 证明了 $\sigma=1$ 上无零点。 故非平凡零点位于 $0<\sigma<1$ 带， 称为临界带。
 \end{remark}

 \begin{comment*}%评述
 Dirichlet 特征、级数、 $L$-函数， 在现代数学 (例如代数数论、代数几何等) 中都有深刻的系列的发展， 意义重大。
 \end{comment*}\end{frame}

